大众日报刊发山东省泰安第三中学马刚论文

函数与方程思想是高中数学的核心思想方法，贯穿于代数、几何等多个知识模块。本文以人民教育出版社A版高中数学教材内容为基础，结合具体例题，探讨函数与方程思想在方程求解、不等式证明、数列问题及几何计算中的应用，旨在帮助高中生理解函数与方程思想的内在联系，掌握其应用方法，培养数学思维能力。

函数与方程思想的核心内涵

函数与方程思想的本质是“联系”与“转化”，两者的转化关系体现在两个方面：一方面，函数问题可通过设定函数值为特定常数转化为方程问题，比如求函数零点，其实就是求解当函数值为零时对应的方程；另一方面，方程问题可通过构造函数，利用函数的性质（像单调性、奇偶性、最值等）来求解，比如面对一些无法直接通过代数运算求解的方程，构造相关函数后，通过分析函数图像与坐标轴的交点，就能间接找到方程的解。

人民教育出版社A版教材必修第一册在“4.5.1函数的零点与方程的解”一节中明确指出：“函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图像与x轴交点的横坐标。”这一表述直接揭示了函数零点、方程的解与函数图像交点三者的等价关系，为函数与方程思想方法的应用奠定了理论基础。

在方程求解中的应用：超越方程的转化策略

教材中常规方程（如一元二次方程、分式方程）可通过固定步骤求解，但对于超越方程（含指数、对数、三角函数等），直接求解往往比较困难。此时，利用函数与方程的转化思想，通过图像分析或构造辅助函数，可有效突破难点。

例如，求解含有对数的方程时，由于该方程无法通过代数运算直接求解，可构造一个新的函数，这个函数由方程左边的表达式减去右边的表达式得到，这样就将求解方程的问题转化为求这个新函数零点的问题。接下来分析这个新函数的单调性：在某个区间内，对数部分的值小于0，另一部分的值大于1，所以新函数的值大于0；在某个特定点，代入计算可得函数值大于0；在另一个特定点，函数值仍大于0；而在更大的一个点，函数值则小于0。又因为这个新函数在定义域内是单调递减的，所以可以确定它存在唯一的零点，且这个零点在两个特定值之间，结合教材必修第一册“4.5.2用二分法求方程的近似解”的方法，就能进一步求得方程解的精确值。

在不等式证明中的应用：构造函数分析最值

不等式证明是高中数学的难点之一，当不等式两边为复杂表达式时，通过构造函数，利用函数最值进行证明是常用策略。其核心逻辑是：若要证明不等式左边的表达式大于等于右边的表达式，可构造一个新函数，让这个新函数等于左边表达式减去右边表达式，然后转化为证明这个新函数的最小值大于等于0。

例如，证明对任意大于0的实数，某个关于该实数的表达式（如一个一次式减去对数式）大于等于1。首先构造一个新函数，这个新函数就是要证明的不等式左边表达式减去右边的1，并且明确新函数的定义域是大于0的实数。接着通过求导来分析这个新函数的单调性，令导数等于0，可解得一个关键的自变量值。当自变量在0到这个关键值之间时，导数小于0，新函数单调递减；当自变量大于这个关键值时，导数大于0，新函数单调递增。由此可知，新函数在这个关键值处取得最小值，将关键值代入新函数计算，可得最小值为0，这就说明新函数大于等于0，原不等式得以证明。

在几何计算中的应用：坐标法与函数最值的结合

解析几何的核心是用代数方法解决几何问题，而函数与方程思想是连接代数与几何的桥梁。例如，求动点到定点的距离最值、两条曲线的位置关系等问题，可通过建立坐标系转化为函数最值或方程解的个数问题。

已知点是椭圆上的动点，求该点到某条直线的距离的最大值。首先根据点到直线的距离公式，写出动点到已知直线的距离表达式。问题就转化为求距离表达式中分子部分（即一个关于动点横、纵坐标的线性表达式的绝对值）的最大值，其中动点的横、纵坐标满足椭圆方程。

接下来构造一个新的函数，令其等于这个线性表达式（去掉绝对值）。然后将动点横坐标用这个新函数和纵坐标表示出来，代入椭圆方程，经过整理可得到一个关于纵坐标的一元二次方程。由于纵坐标是实数，所以这个一元二次方程的判别式必须大于等于0。通过计算判别式，可得到关于新函数的不等式，解这个不等式就能确定新函数的取值范围。最后根据新函数的取值范围，求出距离表达式分子部分的最大值，再结合距离公式中的分母，就能得到动点到直线距离的最大值。

该解法通过构造函数，将几何中的距离最值问题转化为方程有实根的条件（判别式非负），体现了函数与方程思想在几何中的灵活应用，与教材选择性必修第一册第三章“圆锥曲线的方程”中强调的“代数化”思想一脉相承，让高中生体会到代数方法在解决几何问题中的优势。

函数与方程思想作为高中数学的重要思想方法，贯穿于人民教育出版社A版教材的多个知识模块，其价值不仅在于解决具体数学问题，更在于培养学生的逻辑思维与转化能力。通过本文的研究可以发现，在方程求解、不等式证明、数列问题及几何计算中，函数与方程思想都发挥着关键作用，其核心都是通过 “联系”与“转化”，将复杂问题简化为熟悉的函数或方程问题。对高中生而言，掌握这一思想方法需注重理解函数与方程的内在关联，在日常学习中多结合教材例题进行练习，主动思考如何构造函数或方程解决问题，逐步培养转化意识。只有这样，才能真正提升数学解题能力，为后续学习高等数学以及解决实际问题奠定坚实的基础。

（作者：山东省泰安第三中学 马刚）